Question

3．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上的一定点，P是CD边长的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为x，在点P运动过程中，x不断变化，则x的取值范围是2＜x＜$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质求出AC，然后求出AP的取值范围，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=$\frac{1}{2}$AP．

解答 解：连接AP，
∵矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴对角线AC=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），
∴4＜AP＜5，
∵M，N分别是AE、PE的中点，
∴MN是△AEP的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$AP，
∴2＜x＜$\frac{5}{2}$，
故答案为：2＜x＜$\frac{5}{2}$，

点评 本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的取值范围是解题的关键．