Question

6．如图，在平面直角坐标系中，经过的点A（-4，0）、点B（6，0）的 抛物线与y轴相交于点C（0，m），连接BC．
（1）若△OAC∽△OCB，请求出m的值；
（2）当m=3时，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上位于x轴上方的一动点，以P、A、B、C为顶点的四边形面积记作S，当S取何值时，相应的点P有且只有3个？

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的对应边成比例求得m的值即可；
（2）利用待定系数法求得抛物线解析式；
（3）需要分类讨论：点P在OC的左侧、右侧两种情况．利用分割法求得S的值，进行比较即可得到答案．

解答 解：（1）∵A（-4，0）、B（6，0）、C（0，m），
∴OA=4，OB=6，OC=m，
∵△OAC∽△OCB，
∴$\frac{OC}{OB}$=$\frac{OA}{OC}$，
∴OC²=OA•OB，即m²=24，
∴m=2$\sqrt{6}$；

（2）当m=3时，C（0，3），
∴设抛物线解析式为y=ax²+bx+3（a≠0）．
把A（-4，0）、B（6，0）代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b+3=0}\\{36a+6b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{8}}\\{b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
故该抛物线解析式为：y=-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{4}$x+3；

（3）设P（x，-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{4}$x+3）．
①若点P在OC的左侧，连接OP．
S=S_△AOP+S_△POC+S_△OBC
=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{4}$x+3）-$\frac{1}{2}$×3x+$\frac{1}{2}$×6×3
=-$\frac{1}{4}$（x+2）²+16；
②若点P在OC的右侧，连接OP．
S=S_△ACO+S_△POC+S_△POB
=$\frac{1}{2}$×4×3+$\frac{1}{2}$×3x+$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{1}{8}$x²+$\frac{1}{4}$x+3）
=-$\frac{3}{8}$（x-3）²+$\frac{147}{8}$，
$\frac{147}{8}$＞16，
∴当点P在OC的左侧时，四边形PCAB的面积最大值是16，此时点P的位置只有一个．
16=-$\frac{3}{8}$（x-3）²+$\frac{147}{8}$，
解得x=3±$\frac{\sqrt{57}}{3}$，
∴当点P在OC的右侧时，四边形PCAB的面积等于16，的对应点P的位置有2个．
综上所述，以P、A、B、C为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．

点评 本题考查了二次函数综合题．还考查了四边形、三角形的面积，要注意将四边形分解成多个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．