Question

18．有一组邻边相等，且另外两边也相等的四边形我们把它叫做筝形，如图1，四边形ABCD中，AD=DC，AB=BC，那么四边形ACBD叫做筝形．
（1）如图2，已知筝形ABCD的周长是18，AD=CD=3，那么AB=6；
（2）在探索筝形的性质时，发现筝形有一组对角相等，如图1，筝形ABCD中，AD=DC，AB=BC，那么∠A=∠C，请证明这个结论；
（3）如图2，筝形ABCD中，AD=DC=$\sqrt{2}$，∠ADC=90°，∠DAB=105°，求筝形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据四边形周长为四边的和，相减得AB的长；
（2）连接BD，证明所在的两个三角形全等；
（3）筝形ABCD的面积等于两个三角形面积的和，主要求AC的OB的长，并说明OB是AC边上的高即可．

解答 解：（1）如图2，∵四边形ABCD为筝形，
∴AB=BC，
∵筝形ABCD的周长是18，AD=CD=3，
∴AB=$\frac{18-2×3}{2}$=6，
故答案为：6；
（2）如图1，连接DB，
∵AD=DC，AB=BC，BD=BD，
∴△ADB≌△CDB，
∴∠A=∠C
（3）如图2，
∵∠ADC=90°，AD=CD=$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2，
∵四边形ABCD为筝形，
∴∠DAB=∠DCB=105°，
∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=∠DCA=45°，
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD=CD，AB=BC，
∴BD是AC的中垂线，
∴BD⊥AC，
∴AO=CO=1，
∴tan∠BAC=$\frac{BO}{AO}$，
∴BO=1×tan60°=$\sqrt{3}$，
∴S_筝形ABCD=S_△ADC+S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•CD+$\frac{1}{2}$AC•OB=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×2×$\sqrt{3}$=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题研究了一个新的图形--筝形的定义和性质，考查了学生的阅读理解能力，同时还考查了线段垂直平分线、等边三角形、等腰直角三角形的性质，运用勾股定理和特殊的三角函数值求边长；如果求不规则四边形的面积，通常采用转化为规则图形面积的和或差来求．