Question

7．在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c．过A作AD⊥BC于D（如图），则sinB=$\frac{AD}{c}$，sinc=$\frac{AD}{b}$，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$．同理有$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}$，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$．∴$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$…（*）
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．
如在△ABC中，∠A=45°、∠B=60°，BC=10$\sqrt{2}$，求AC的值．
解：∵$\frac{AB}{sinA}=\frac{AC}{sinB}$，∴$\frac{{10\sqrt{2}}}{sin45°}=\frac{AC}{sin60°}\begin{array}{l}{\;}{∴AC=10\sqrt{3}}\end{array}$
（实际应用题）如图，小明要测量河内小岛C到河边公路AB的距离BC，在A点测得∠BAC=45°，在C点测得∠BCA=75°，又测得AB=60$\sqrt{3}$米，求BC的距离为多少米？（结果保留两位有效数字，参考数据$\sqrt{2}$=1.414）．

Answer 1

分析 由阅读材料可知在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，依此得出$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AB}{sin∠BCA}$，即$\frac{BC}{sin45°}$=$\frac{60\sqrt{3}}{sin75°}$，代入数据计算即可求出BC的长．

解答 解：∵$\frac{BC}{sin∠BAC}$=$\frac{AB}{sin∠BCA}$，
∴$\frac{BC}{sin45°}$=$\frac{60\sqrt{3}}{sin75°}$，
∴BC=$\frac{60\sqrt{3}×\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$=180-60$\sqrt{3}$≈76．

点评 本题考查了解直角三角形的应用，同时考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．理解在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等是解题的关键．