Question

16．如图，△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角，
实验与操作：
根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）
（1）作∠DAC的平分线AM；
（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE；
（3）猜测AE和AF的关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用角平分线的作法进而得出答案；
（2）利用线段垂直平分线的作法得出即可；
（3）利用全等三角形的判定得出△AEO≌△CEO（SAS），进而求出∠AEF=∠AFE，即可得出答案．

解答 解：（1）如图所示：AM即为所求；

（2）如图所示：EF，AE即为所求；

（3）AE=AF，
理由：∵EF垂直平分线段AC，
∴AO=CO，
在△AEO和△CEO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=CO}\\{∠AOE=∠COE}\\{EO=EO}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△CEO（SAS），
∴∠AEO=∠CEO，
∵∠B+∠C=∠DAC，
∠DAM=∠MAC，
∴∠MAC=∠C，
∴AM∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．

点评 此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确把握线段垂直平分线的性质是解题关键．