Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=

3

5

(x2+bx+c)过点A（1，0），B(0，

3

)，这条抛物线的对称轴与x轴交于点C，点P为射线CB上一个动点（不与点C重合），点D为此抛物线对称轴上一点，且∠CPD=60°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P的横坐标为m，△PCD的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（3）过点P作PE⊥DP，连接DE，F为DE的中点，试求线段BF的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将点A（1，0），B(0，

3

)代入y=

3

5

(x2+bx+c)，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先由抛物线的解析式求出对称轴为x=3，得到C点坐标（3，0），在Rt△OBC中，利用正切函数的定义得出tan∠OCB=

OB

OC

=

3

3

，于是∠OCB=30°，则∠PCD=60°，再证明△PCD是等边三角形，过点P作PQ⊥x轴于点Q，PG∥x轴，交CD于点G，求出CP=

2 3 (3-m)

3

=CD，PG=CQ=3-m，然后根据S_△PCD=

1

2

CD•PG即可求出S与m之间的函数关系式；
（3）连结PF、CF，先利用SSS证明△CPF≌△CDF，得出∠PCF=∠DCF，由角平分线的定义可知点F在∠PCD的角平分线上，根据垂线段最短得出BF的最小值为点B到直线CF的距离，再根据角平分线的性质得到点B到直线CF的距离等于OB，进而求出线段BF的最小值．

解答：解：（1）∵抛物线y=

3

5

(x2+bx+c)过点A（1，0），B(0，

3

)，
∴

3 5 (1+b+c)=0 3 5 c= 3

，
解得

b=-6 c=5

，
∴抛物线的解析式为y=

3

5

（x²-6x+5），
即y=

3

5

x²-

6 3

5

x+

3

；

（2）∵y=

3

5

x²-

6 3

5

x+

3

=

3

5

（x-3）²-

4 3

5

，
∴抛物线的对称轴为x=3，
∴C（3，0），
∵B（0，

3

），
∴OC=3，OB=

3

，
∴tan∠OCB=

OB

OC

=

3

3

，
∴∠OCB=30°，
∴∠PCD=60°．
∵∠CPD=60°，
∴∠CDP=60°，
∴△PCD是等边三角形．
如图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q，PG∥x轴，交CD于点G，
∵点P的横坐标为m，
∴OQ=m，CQ=3-m．
∴CP=

2 3 (3-m)

3

=CD，PG=CQ=3-m．
∴S_△PCD=

1

2

CD•PG=

1

2

×

2 3 (3-m)

3

×（3-m）=

3

3

（3-m）²，
即S=

3

3

m²-2

3

m+3

3

（m＜3）；

（3）如图2，连结PF、CF．
∵PE⊥DP，F为DE的中点，
∴PF=

1

2

DE=DF．
在△CPF与△CDF中，

PF=DF CP=CD CF=CF

，
∴△CPF≌△CDF（SSS），
∴∠PCF=∠DCF，
∴点F在∠PCD的角平分线上，
∴BF的最小值为点B到直线CF的距离．
∵∠OCB=∠BCF=30°，
∴点B到直线CF的距离等于OB，
∴BF的最小值为

3

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的性质，正切函数的定义，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义与性质等知识，综合性较强，有一定难度．根据垂线段最短得出BF的最小值为点B到直线CF的距离是解决第（3）小题的关键．