Question

15．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2$\sqrt{3}$+2，四边形BDEF是△ABC的内接正方形（点D、E、F在三角形的边上）．则此正方形的周长是4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设正方形的边长为x，由锐角三角函数可知CD=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，易得BC=x+$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，由含30°直角三角形的性质可得BC=$\frac{1}{2}$AC，易得x，可得结果．

解答 解：设正方形的边长为x，
∵四边形BDEF是△ABC的内接正方形，
∴△EDC为直角三角形，
∴CD=$\frac{DE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∵∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}AC$=$\frac{1}{2}×（2\sqrt{3}+2）$=$\sqrt{3}+1$，
∴x$+\frac{\sqrt{3}}{3}$x=$\sqrt{3}+1$
解得：x=$\sqrt{3}$，
∴正方形的周长是4$\sqrt{3}$，
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正方形的性质，含30°直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，设正方形的边长为x，利用方程思想是解答此题的关键．