Question

1．如图，矩形ABCD中，AB=6，BD=10，射线AM∥BD，点P是AM上一个动点，过点P作AB的平行线，交BD于点E．
（1）求证：PD=EC；
（2）当平行四边形PECD为菱形时，求sin$\frac{1}{2}$∠EPD的值和ED的长．

Answer 1

分析 （1）根据PE=CD，PE∥CD，判定四边形CDPE是平行四边形，即可得出PD=EC；
（2）连接CP，根据四边形PECD为菱形，判定△CDF∽△BDC，即可得到sin$\frac{1}{2}$∠EPD=sin∠DCF=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{3}{5}$，再根据射影定理即可得到ED的长．

解答 解：（1）∵AM∥BD，PE∥AB，
∴四边形ABEP是平行四边形，
∴AB=PE，
又∵AB=CD，AB∥CD，
∴PE=CD，PE∥CD，
∴四边形CDPE是平行四边形，
∴PD=EC；

（2）如图所示，连接CP，
∵四边形PECD为菱形，
∴CP⊥DE，∠DCF=∠DPF=$\frac{1}{2}$∠DPE，
∵∠DFC=∠DCB，∠CDF=∠BDC，
∴△CDF∽△BDC，
∴$\frac{DF}{DC}$=$\frac{DC}{DB}$=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
∴sin$\frac{1}{2}$∠EPD=sin∠DCF=$\frac{DF}{DC}$=$\frac{3}{5}$，
∵Rt△BCD中，CF⊥BD，
∴CD²=DF×DB，即36=DF×10，
∴DF=3.6，
∴DE=2DF=7.2，
即ED的长为7.2．

点评 本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质以及相似三角形的判定与性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．