Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，∠A=100°，点D在AC边上，∠ABD=30°，则AD的长为$\frac{{a}^{2}}{b}$．

Answer 1

分析 以BC为边在△ABC的下面作等边三角形BCE，连接AE，由等腰三角形和等边三角形的性质得出AE⊥BC，CE=BC=b，∠BCE=60°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠ACB=∠ABC=50°，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=50°，求出∠ADB=∠CAE，∠ACE=∠ACB+∠BCE=∠BAC，证出△ABD∽△CAE，得出对应边成比例，即可得出答案．

解答 解：以BC为边在△ABC的下面作等边三角形BCE，连接AE，如图所示：
则AE⊥BC，CE=BC=b，∠BCE=60°，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠ACB=∠ABC=（180°-1100°）÷2=50°，∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=50°，
∵∠ABD=30°，
∴∠ADB=180°-∠BAC-∠ABD=50°，
∴∠ADB=∠CAE，∠ACE=∠ACB+∠BCE=100°=∠BAC，
∴△ABD∽△CAE，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AC}{CE}$，即$\frac{AD}{a}=\frac{a}{b}$，
解得：AD=$\frac{{a}^{2}}{b}$；
故答案为：$\frac{{a}^{2}}{b}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．