Question

2．△ABC中，AB=12，AC=$\sqrt{39}$，∠B=30°，则△ABC的面积是21$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过A作AD⊥BC于D（或延长线于D），根据含30度角的直角三角形的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况：如图1，当AD在△ABC内部时、如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解．

解答 解：①如图1，作AD⊥BC，垂足为点D，

在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=6，BD=ABcosB=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{39}）^{2}-{6}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=BD+CD=6$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$，
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×7$\sqrt{3}$×6=21$\sqrt{3}$；
②如图2，作AD⊥BC，交BC延长线于点D，

由①知，AD=6、BD=6$\sqrt{3}$、CD=$\sqrt{3}$，
则BC=BD-CD=5$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{3}$×6=15$\sqrt{3}$，
故答案为：21$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，本题关键是得到BC和AD的长，同时注意分类思想的运用．