Question

10．如图，直角三角形ABC中，∠BAC=90°，点D为三角形内部一点，连接AD，BD．CD，AD平分∠BAC，∠BDC=135°，AD=2$\sqrt{2}$，BD=$\sqrt{2}$CD，则BC的长为（　　）

• A． 6
• B． 8
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 根据题意可以作出合适的辅助线，然后根据等腰三角形的性质和三角形的相似可以求得AB和AC的长，再根据勾股定理即可求得BC的长．

解答 解：过点D作EF⊥AD于点D，交AB于点E，交AC于点F，
∵∠BAC=90°，AD平分∠BAC，
∴∠AED=∠AFD=∠EAD=∠FAD=45°，
∴AD=DE=DF，
∵AD=2$\sqrt{2}$，
∴DE=DF=2$\sqrt{2}$，AE=AF=4，
∵∠AED=∠AFD=45°，∠BDC=135°，
∴∠EBD+∠EDB=45°，∠EDB+∠FDC=45°，∠FDC+∠FCD=45°，
∴∠EBD=∠FDC，∠EDB=∠FCD，
∴△EDB∽△FCD，
∴$\frac{ED}{FC}=\frac{EB}{FD}=\frac{BD}{DC}$，
∵BD=$\sqrt{2}$CD，ED=FD=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2\sqrt{2}}{FC}=\frac{EB}{2\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
解得，FC=2，EB=4，
∴AB=AE+BE=8，AC=AF+FC=6，
∴BC=$\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$，
故选C．

点评 本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边AB和AC的长，利用勾股定理和三角形的相似解答．