Question

12．定义：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S_△ACD=S_△BCD．应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．
（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；
（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

Answer 1

分析 （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；
（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S_{四边形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF即可求解．

解答 （1）证明：连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴OE=OB，
∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，
∴S_△AOE=S_△DOE，AE=ED=$\frac{1}{2}$AD=3，
∵△AOB与△AOE是友好三角形，
∴S_△AOB=S_△AOE，
∵△AOE≌△FOB，
∴S_△AOE=S_△FOB，
∴S_△AOD=S_△ABF，
∴S_{四边形CDOF}=S_矩形ABCD-2S_△ABF=4×6-2×$\frac{1}{2}$×4×3=12．

点评 本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．