Question

17．如图，已知△ACB与△CEF均为等腰直角三角形，∠ACB=∠CEF=90°，点E在AB上，CF与AB交于点G．
（1）求证：△ACG∽△CEG；
（2）设△ACB的面积为S，求证：AG•BE=2S．

Answer 1

分析 （1）所求的两个三角形中，∠A、∠B同为45°，∠BCE、∠2均为45°+∠ECF，由此可得两组对应角相等，即可证得所求的三角形相似．
（2）利用（1）题相似三角形所得比例线段即可证得此题的结论．

解答 证明：（1）∵AC=BC，
∴∠A=∠B，
∵∠ACB=90°，∴∠A=∠B=45°，
∵∠ECF=45°，∴∠ECF=∠B=45°，
∴∠ECF+∠1=∠B+∠1，
∵∠BCE=∠ECF+∠1，∠2=∠B+∠1，
∴∠BCE=∠2
∵∠A=∠B，∠BCE=∠2，
∴△ACF∽△BEC．

（2）∵△ACF∽△BEC，
∴$\frac{AC}{BE}$=$\frac{AF}{BC}$，即AC•BC=BE•AF，
∴△ABC的面积：S=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$BE•AF，
∴AF•BE=2S．

点评 此题主要考查的是等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形面积的计算方法，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．