Question

6．已知⊙O的半径为2，则⊙O的内接正三角形的面积为（　　）

• A． $\frac{3}{2}\sqrt{3}$
• B． 3$\sqrt{3}$
• C． 6$\sqrt{3}$
• D． 12$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OD，由勾股定理求出BD，得出BC，△ABC的面积=3S_△OBC，即可得出结果．

解答 解：如图所示：
连接OB、OC，作OD⊥BC于D，
则∠ODB=90°，BD=CD，∠OBC=30°，
∴OD=$\frac{1}{2}$OB=1，
∴BD=$\sqrt{O{B}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=2BD=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=3S_△OBC=3×$\frac{1}{2}$×BC×OD=3×$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×1=3$\sqrt{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正三角形和圆的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键．