Question

5．已知函数y=x²-2x-3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交点为C
（1）求△ABC的面积；
（2）抛物线上是否存在点P使得S_△PAB=$\frac{4}{3}$S_△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）一元二次方程x²-2x-3=0的解是抛物线与x轴的交点的横坐标，而且当x=0时的函数值是点C的坐标，可由点的坐标求出△ABC的面积．
（2）令点P的坐标为（x，y），则S_△PAB=$\frac{1}{2}$•AB•|y|=$\frac{4}{3}$S_△ABC，求出y后验证合理性即可．

解答 解：（1）令x²-2x-3=0，解之得：x₁=3，x₂=-1，
则点A（-1，0），点B（3，0）．
当x=0时，y=-3，即点C（0，-3），
所以，S_△ABC=$\frac{1}{2}$•|3-（-1）|•|-3|=$\frac{1}{2}$×4×3=6
即：所求△ABC的面积为6
（2）设P（x，y），
因为 S_△PAB=$\frac{1}{2}$•AB•|y|=$\frac{4}{3}$S_△ABC，
所以 $\frac{1}{2}$•AB•|y|=$\frac{4}{3}$×6
                  y=±4
令x²-2x-3=-4，则x=1，即：P₁ （1，-4）
令x²-2x-3=4，则x=1±2$\sqrt{2}$，即P₂ （1-2$\sqrt{2}$，4），P₃ （1+2$\sqrt{2}$，4）
即所有符合条件的点P的坐标为：P₁ （1，-4）、P₂ （1-2$\sqrt{2}$，4），P₃ （1+2$\sqrt{2}$，4）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是掌握抛物线与x、y轴的交点的坐标的求法即直角坐标系中三角形的面积与顶点坐标之间的关系．