Question

8．正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为BD上一点，延长AE到点N，使AE=EN，连接CN、CE．
（1）求证：AE=CE．
（2）求证：△CAN为直角三角形．
（3）若AN=4$\sqrt{5}$，正方形的边长为6，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，易证得△ABE≌△CBE，继而证得AE=CE．
（2）由AE=CE，AE=EN，即可证得∠ACN=90°，则可判定△CAN为直角三角形；
（3）由AN=4$\sqrt{5}$，正方形的边长为6，易求得CN的长，然后由三角形中位线的性质，求得OE的长，继而求得答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠CBD=45°，AB=CB，
在△ABE和∠CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE；

（2）证明：∵AE=CE，AE=EN，
∴∠EAC=∠ECA，CE=EN，
∴∠ECN=∠N，
∵∠EAC+∠ECA+∠ECN+∠N=180°，
∴∠ACE+∠ECN=90°，
即∠ACN=90°，
∴△CAN为直角三角形；

（3）解：∵正方形的边长为6，
∴AC=BD=6$\sqrt{2}$，
∵∠ACN=90°，AN=4$\sqrt{5}$，
∴CN=$\sqrt{A{N}^{2}-A{C}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵OA=OC，AE=EN，
∴OE=$\frac{1}{2}$CN=$\sqrt{2}$，
∵OB=$\frac{1}{2}$BD=3$\sqrt{2}$，
∴BE=OB+OE=4$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的判定以及勾股定理等知识．注意利用勾股定理求得各线段的长是关键．