Question

2．设a₁=2²-0²，a₂=4²-2²，a₃=6²-4²，…
（1）请用含n的代数式表示a_n（n为自然数）；
（2）探究a_n是否为4的倍数，证明你的结论并用文字描述该结论；
（3）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”（如：1，16等），试写出a₁，a₂，…a_n这些数中，前4个“完全平方数”．

Answer 1

分析 （1）观察所给的3个算式，可得第n个算式；
（2）化简（1）的算式即可得到结论；
（3）根据（1）的算式写出前4个完全平方数即可．

解答 解：（1）∵a₁=2²-0²，a₂=4²-2²，a₃=6²-4²，…
∴a_n=（2n+2）²-（2n）²（n为自然数）；

（2）a_n=（2n+2）²-（2n）²=4n²+8n+4-4n²=8n+4=4（2n+1），
故a_n是4的倍数；
文字语言：两个连续偶数的平方差是4的倍数；

（3）前4个完全平方数是4，36，100，196．

点评 此题主要考查了数字之间的关系，以及规律性问题，题目比较典型．