Question

3．在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE，AC=CD，BC=EC，且∠B=60°，AB与DE交于点P．
（1）求证：PC平分∠EPA；
（2）探究线段PE、PB和BC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）作CM⊥AB，CN⊥ED垂足分别为M、N，利用全等三角形面积相等，得出CM=CN，再根据角平分线的判定定理即可解决．
（2）在线段ED上截取EM=EC，连接CM，由∠ABC=∠DEC=60°确定B、E、C、P四点共圆，再证明△CPM≌△CPB得到PB=PM即可证得BC=PB+PE．

解答 （1）证明：如图1，作CM⊥AB，CN⊥ED垂足分别为M、N．
在△ACB和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CD}\\{∠ACB=∠DCE}\\{CB=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=DE，S_△ACB=S_△DCE，
∴$\frac{1}{2}$•AB•CM=$\frac{1}{2}$•DE•CN，
∴CM=CN，
∵CM⊥AB，CN⊥DE，
∴∠CPE=∠CPA．
（2）结论：BC=PB+PE，理由如下：
证明：如图2，在线段ED上截取EM=EC，连接CM．
∵△ACB≌△DCE，
∴∠ABC=∠DEC=60°，
∴B、E、C、P四点共圆，△ECM是等边三角形，
∴∠EBC=∠EPC，∠CMP=∠CDP=60°，EC=EM=CM=BC，
∵CB=CE，
∴∠CEB=∠CBE=∠CPE，
∵∠CPM+∠CPE=180°，∠CEB+∠CPB=180°，
∴∠CPM=∠CPB，
在△CPM和△CPB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBP=∠CMP}\\{∠CPB=∠CPM}\\{CP=CP}\end{array}\right.$，
∴△CPM≌△CPB，
∴PB=PM，
∴EM=PE+PM=PE+PB，
∴BC=PE+PB．

点评 全等三角形的判定和性质、面积法证明线段相等、四点共圆等知识，本题比较难，利用四点共圆的性质是解决问题的关键．