Question

4．如图：函数y=ax²+bx+c（其中a、b、c为常数）的图象分别与x轴、y轴交于A、B、C三点，M为抛物线的顶点，位于一象限，且AC⊥BC，OA＜OB．
（1）试确定a、b、c的符号；
（2）求证：b²-4ac＞4；
（3）当b=2时，M点与经过A、B、C三点的圆的位置关系如何？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由抛物线开口向下，得出a＜0，由M在一象限，得出$-\frac{b}{2a}＞0$，得出b＞0，再根据抛物线与y轴交点在正半轴，得出c＞0；
（2）设A（x₁，0），B（x₂，0），由根与系数的关系得出x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，再证明△AOC∽△COB，得出对应边成比例$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，得出x₁•x₂=-c²=$\frac{c}{a}$，ac=-1，得出b²-4ac=b²+4＞0；
（3）先由b=2，得出M的横坐标=-$\frac{1}{a}$，纵坐标=-$\frac{2}{a}$，再根据勾股定理求出经过A、B、C三点的圆的半径，由DM＞半径，即可得出结论．

解答 （1）解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵M在一象限，
∴$-\frac{b}{2a}＞0$，$\frac{b}{2a}$＜0，
∴b＞0，
当x=0时，y=c＞0；
∴a＜0，b＞0，c＞0；
（2）证明：设A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
∵AC⊥CB，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BCO，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OC}{OB}$，
即$\frac{{-x}_{1}}{c}=\frac{c}{{x}_{2}}$，
∴x₁•x₂=-c²=$\frac{c}{a}$，
∴ac=-1，
∴b²-4ac=b²+4＞0；
（3）解：M在A、B、C三点所在圆之外；理由如下：如图所示：
当b=2时，-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{1}{a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=$\frac{4×（-1）-{2}^{2}}{4a}$=-$\frac{2}{a}$，
∵AC⊥CB，
∴AB的中点D（-$\frac{1}{a}$，0）是圆心，
半径为DC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{（-\frac{1}{a}）^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{\frac{1+{a}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{a}$，
∵DM=-$\frac{2}{a}$＞-$\frac{\sqrt{2}}{a}$，
∴DM＞DC，
∴M点在过A、B、C三点的圆之外．

点评 本题是二次函数综合题目；考查了二次函数y=ax²+bx+c中a、b、c、b²-4ac的符号、根与系数的关系、勾股定理、点与圆的位置关系、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要根据勾股定理求出半径才能得出结果．