Question

4．如图1，直线AB的解析式为y=4x+4，OA=OC．
（1）求C点坐标；
（2）点P在BA的延长线上，且∠BPC=45°，求P点坐标；
（3）如图2，若点P在AB上，∠APC=45°，求P点坐标．

Answer 1

分析 （1）首先求出直线AB与x轴的交点A的坐标，然后根据OA=OC，可得点C和点A的横坐标互为相反数，据此求出C点坐标是多少即可；
（2）首先根据点P在BA的延长线上，设点P的坐标是（a，4a+4），求出PC所在直线的斜率k的值是多少；然后根据∠BPC=45°，可得tan45°=$\frac{4-k}{1+4k}$，据此求出a的值是多少，进而求出P点坐标是多少即可；
（3）设点P的坐标是（b，4b+4），B点坐标是（0，4），求出sin∠PAC的值是多少；然后在△ACP中，由正弦定理，可得$\frac{AC}{sin∠APC}=\frac{CP}{sin∠PAC}$，据此求出b的值是多少，进而求出P点坐标是多少即可．

解答 解：（1）由4x+4=0，
可得x=-1，
∴A点坐标是（-1，0），
∵OA=OC，
∴C点坐标是（1，0）．

（2）∵点P在BA的延长线上，
∴设点P的坐标是（a，4a+4），
∴PC所在直线的斜率是：
k=$\frac{（4a+4）-0}{a-1}$=$\frac{4a+4}{a-1}$，
∵∠BPC=45°，
∴tan45°=$\frac{4-k}{1+4k}$
=$\frac{4-\frac{4a+4}{a-1}}{1+4×\frac{4a+4}{a-1}}$
=$\frac{-8}{17a+15}$
=1
解得a=-$\frac{23}{17}$，
∵4a+4
=4×（-$\frac{23}{17}$）+4
=-$\frac{24}{17}$
∴P点坐标是（-$\frac{23}{17}$，-$\frac{24}{17}$）．

（3）设点P的坐标是（b，4b+4），
∵B点坐标是（0，4），
∴sin∠PAC=$\frac{BO}{AB}$=$\frac{4}{\sqrt{{4}^{2}+1}}=\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
在△ACP中，由正弦定理，可得
$\frac{AC}{sin∠APC}=\frac{CP}{sin∠PAC}$，
即$\frac{2}{sin45°}=\frac{\sqrt{{（b-1）}^{2}{+（4b+4）}^{2}}}{\frac{4\sqrt{17}}{17}}$，
整理，可得
289b²+510b+161=0，
解得b=-$\frac{7}{17}$，或b=-$\frac{391}{289}$，
∵b＞-1，-$\frac{391}{289}＜-1$，
∴b=-$\frac{391}{289}$不符合题意，
∴b=-$\frac{7}{17}$，
∴4b+4
=4×（-$\frac{7}{17}$）+4
=$\frac{40}{17}$
∴P点坐标是（-$\frac{7}{17}$，$\frac{40}{17}$）．

点评 （1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了点的坐标的含义以及求法，以及两条直线的夹角的性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了正弦定理的应用，要熟练掌握．