Question

3．如图，已知直线经过点B（-4，0），C（-2，-2），且交y轴于A点．

（1）求直线BC的解析式；
（2）直线AM经过A点和M（-1，0），y轴上是否存在一点N，使得BN⊥AM？若存在，求出N点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）直线y=mx将△AOB的面积分为1：3两部分，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设直线BC解析式为y=kx+b，把A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线BC解析式；
（2）y轴上存在一点N，使得BN⊥AM，此时直线AM与直线BN斜率乘积为-1，确定出直线AM的斜率，求出直线BN的斜率，进而求出BN的方程，即可确定出N坐标；
（3）根据题意找出线段AB的三等份点P与Q坐标，确定出直线OP与OQ解析式，即可确定出所求m的值．

解答 解：（1）设直线解析式为y=kx+b，
把A（0，-4）和C（-2，-2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{-2k+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：b=-4，k=-1，
则直线BC解析式为y=-x-4；
（2）如图，y轴上存在一点N，使得BN⊥AM，
∴直线BN与直线AM斜率乘积为-1，
设直线AM解析式为y=mx+n，
把A（0，-4）与M（-1，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{n=-4}\\{-m+n=0}\end{array}\right.$，
解得：m=n=-4，
∴直线AM解析式为y=-x-4，
∵直线AM斜率的为-1，
∴直线BN斜率为1，
∴y=x+4，
令x=0，得到y=4，即N（0，4）；
（3）∵直线y=mx将△AOB的面积分为1：3两部分，
∴直线y=mx过线段AB的三等份点，
∵A（0，-4），B（-4，0），P，Q分别为线段AB的三等份点，
∴Q（-$\frac{4}{3}$，-$\frac{8}{3}$），P（-$\frac{8}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
设直线OP解析式为y=px，把P坐标代入得：p=$\frac{1}{2}$，此时直线OP解析式为y=$\frac{1}{2}$x；
设直线OQ解析式为y=qx，把Q坐标代入得：q=2，此时直线OQ解析式为y=2x，
综上，m的值为$\frac{1}{2}$或2．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，两直线垂直时斜率满足的关系，一次函数与坐标轴的交点，以及线段三等份点坐标，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．