Question

16．如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E．下列结论：
①AD²=AE•AB；
②3.6≤AE＜10；
③当AD=2$\sqrt{10}$时，△ABD≌△DCE；
④△DCE为直角三角形时，BD为8或12.5．
其中正确的结论是①②③④．
（把你认为正确结论的序号都填上）

Answer 1

分析 ①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；
②依据相似三角形对应边成比例即可求得；
③由AD=2$\sqrt{10}$时，求得DC=10，然后根据对应边相等则两三角形全等，即可证得；
④分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADE=∠C，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AB}{AD}$，
∴AD²=AE•AB，
故①正确，
②易证得△CDE∽△BAD，∵BC=16，
设BD=y，CE=x，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{BD}{CE}$，
∴$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∴0＜x≤6.4，
∵AE=AC-CE=10-x，
∴3.6≤AE＜10．
故②正确．
③作AG⊥BC于G，
∵AB=AC=10，∠ADE=∠B=α，cosα=$\frac{4}{5}$，
∵BC=16，
∴CG=$\frac{1}{2}$BC=8，
∴AG=6，
（1）当点D在G点左侧时，如图1所示，
∵AD=2$\sqrt{10}$，
∴DG=2，
∴CD=CG+DG=8+2=10，
∴AB=CD，
∴△ABD与△DCE全等；
（2）当点D在G点右侧时，如图2所示，
∵AD=2$\sqrt{10}$，
∴DG=2，
∴CD=CG-DG=8-2=6，
∴AB≠CD，
∴△ABD与△DCE不全等；
故③错误；
④当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，
∴∠ADC=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=10，
BD=8．
当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$．AB=10，
∴cosB=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{4}{5}$，
∴BD=$\frac{25}{2}$．
故④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的定义，不等式的性质．进行分类讨论是解决④的关键．