Question

20．如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=9，点E是边BC上一点，连接AE，BD相交于点F，连接DE，若sin∠DEC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，则BF=$\frac{15}{4}$．

Answer 1

分析 由四边形ABCD是矩形，得到CD=AB=12，BC=AD=9，∠C=90°，根据勾股定理求得BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=15，根据sin∠DEC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，得到DE=6$\sqrt{5}$，由勾股定理得到CE=$\sqrt{D{E}^{2}-C{D}^{2}}$=6，通过△ADF∽△EBF，即可得到结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=12，BC=AD=9，∠C=90°，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=15，
∵sin∠DEC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DE=6$\sqrt{5}$，
∴CE=$\sqrt{D{E}^{2}-C{D}^{2}}$=6，
∴BE=3，
∵AB∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴$\frac{AD}{BE}=\frac{DF}{BF}$=$\frac{9}{3}$=3，
∴BF=$\frac{1}{4}$BD=$\frac{15}{4}$．
故答案为：$\frac{15}{4}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练定理是解题的关键．