Question

7．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．
（1）求OA+OB的值；
（2）将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值．

Answer 1

分析 （1）如图1，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，则∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°，求出∠NPB=∠MPA，PM=PN=4，根据ASA推出△PBN≌△PAM，即可得出答案；
（2）如图2，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，求出△PBN≌△PAM，根据全等得出AM=BN，求出OA-OB=OM+ON，代入求出即可．

解答 解：（1）如图1，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，

则∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°，
∵∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA=90°-∠BPM，
∵P（4，4），
∴PM=PN=ON=OM=4，
在△PBN和△PAM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠PMA}\\{PN=PM}\\{∠NPB=∠MPA}\end{array}\right.$
∴△PBN≌△PAM（ASA），
∴PA=PB，BN=AM，
∴OA+OB=OM+AM+OB=OM+OB+ON=4+4=8；

（2）如图2，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，

则∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°，
∵∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA=90°-∠BPM，
∵P（4，4），
∴PM=PN=4，
在△PBN和△PAM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PNB=∠PMA}\\{PN=PM}\\{∠NPB=∠MPA}\end{array}\right.$，
∴△PBN≌△PAM（ASA），
∴PA=PB，AM=BN，
∴OA-OB=（OM+AM）-（BN-ON）=OM+ON=4+4=8．

点评 本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线并求出△PBN≌△PAM是解此题的关键．