Question

13．如图，直线y=7x+7交x轴于点A，交y轴于点B．
（1）S_△AOB；
（2）第一象限内是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，进而求出OA与OB的长，即可求出三角形AOB面积；
（2）第一象限内存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，理由为：设C（x，y）（x＞0，y＞0），根据题意得BC²=AC²，BC²+AC²=AB²，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出C坐标．

解答 解：（1）对于直线y=7x+7，
令x=0，得到y=7；令y=0，得到x=-1，
∴A（-1，0），B（0，7），即OA=1，OB=7，
则S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{7}{2}$；
（2）第一象限内存在点C，使△ABC为等腰直角三角形且∠ACB=90°，理由为：
设C（x，y）（x＞0，y＞0），
根据题意得：BC²=AC²，BC²+AC²=AB²，即$\left\{\begin{array}{l}{（-1-x）^{2}+{y}^{2}={x}^{2}+（y-7）^{2}}\\{（-1-x）^{2}+{y}^{2}+{x}^{2}+（y-7）^{2}={1}^{2}+{7}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$．
此时C（3，3）．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两点间的距离公式，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．