Question

1．如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．
（1）求证：AE=BE；
（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；
（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论；
（2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；
（3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．

解答 解：（1）如图1，连接AP，
∵BC是半⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ACB=∠BAD，
∵点A是弧BP的中点，
∴∠P=∠ACB=∠ABP，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE；

（2）BE=EF，
理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，
∴∠BAC=∠ADC=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∵A为弧BP中点，
∴∠ABP=∠ACB，
∴∠BAD=∠ABP，
∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，
∴EF=AE，
∴BE=EF；

（3）小李的发现是正确的，
理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，
∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，
∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，
在△PCF和△PBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PCF=∠PBG}\\{PC=BP}\\{∠CPF=∠BPG}\end{array}\right.$，
∴△PCF≌△PBG（ASA），
∴CF=BG，
∵BC为直径，
∴∠BAC=°，
∵A为弧BP中点，
∴∠GCA=∠BCA，
在△BAC和△GAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAB=∠CAG}\\{AC=AC}\\{∠BCA=∠GCA}\end{array}\right.$，
∴△BAC≌△GAC（ASA），
∴AG=AB=$\frac{1}{2}$BG，
∴CF=2AB．

点评 本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．