Question

如图所示，AB相切⊙O于点A，直线BO交⊙O于点C、D，且OD=BD，AB=3

3

．
（1）求⊙O的半径；
（2）求∠ABC的度数；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的性质,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OD=BD=r，根据切线的性质得OA⊥AB，在Rt△ABO中根据勾股定理得r²+（3

3

）²=（2r）²，解得r=3；
（2）在Rt△ABO中，由于OA=3，OB=6，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠ABO=30°；
（3）先利用互余得∠AOB=60°，然后根据扇形的面积公式和S_阴影部分=S_△ABO-S_扇形AOD进行计算．

解答：解：（1）连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OD=BD=r，
∵AB相切⊙O于点A，
∴OA⊥AB，
在Rt△ABO中，∵OA²+AB²=OB²，
∴r²+（3

3

）²=（2r）²，解得r=3，
∴⊙O的半径为3；

（2）在Rt△ABO中，∵OA=3，OB=6，
∴∠ABO=30°，
即∠ABC的度数为30°；

（3）∵∠ABO=30°，
∴∠AOB=60°，
∴S_阴影部分=S_△ABO-S_扇形AOD
=

1

2

•3•3

3

-

60•π•32

360

=

9 3

2

-

3π

2

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和扇形的面积公式．