Question

【题目】已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是平面内一点；

（1）如图1， BD⊥CD，∠DCA=30°，则∠BAD=

（2）如图2，若∠BDC=45°，点F是CD中点，求证：AF⊥CD；

（3）如图3，∠BDA=3∠CBD，BD=，求△BCD的面积.

Answer 1

【答案】（1）15°；（2）见详解；（3）.

【解析】

（1）先求出∠BCD的大小，然后通过两条边对应成比例且夹角相等得到△CEB∽△AED，得到∠BAD=∠BCD，即可求得∠BAD的大小；

（2）作△BCD的外接圆，通过圆周角定理得到点A即为该圆的圆心，即可知道AC=AD，从而证得AF⊥CD；

（3）过点D作DE⊥BC于点E，通过∠BDA=3∠CBD得到BD为∠ABC的平分线，从而得到DE=AD，然后利用勾股定理求得DE的值，再求得BC的长度，即可得到三角形面积.

解：（1）∵AB=AC,∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠DCA=30°，

∴∠BCD=45°-30°=15°，

又∵BD⊥CD，

∴∠CBD=90°-15°=75°，

∴∠ABD=75°-45°=30°，

在Rt△ACE和Rt△BDE中，∠ACE=30°，∠ABD=30°，

∴ , ，

在△CEB和△AED中，

∠CEB=∠AED，，

∴△CEB∽△AED，

∴∠BAD=∠BCD=15°.

（2）如图，作三角形BCD的外接圆，则∠BCD为圆周角，

∵∠BDC=45°，

∴所对的圆心角为90°，

∵∠BAC=90°，

∴点A即为△BCD的外接圆的圆心，

∴AC=AD，

∵点F是CD中点，

∴AF⊥CD.

（3）如图，过点D作DE⊥BC于点E，

∵AB=AC,∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵∠BDA=3∠CBD，∠BDA=∠C+∠CBD，

∴∠C=2∠CBD，

∵∠ABC=∠ACB，∠ABC=∠ABD+∠CBD，

∴∠ABD=∠CBD，

又∵∠BAC=90°，DE⊥BC，

∴DE=AD，

设DE=AD=a，

易得△CED为等腰直角三角形，

∴CD=，

∴AB=AC=，

∵BD=，

∴在Rt△ABD中，，

解得 ,

∴AB=AC=，

∴BC=，

∴ .