Question

已知有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ=PR=5cm，QR=5

2

cm，点B、C、Q、R在同一直线l上，当C、Q两点重合时，等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动．
（1）t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5，求时间t；
（2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7，求时间t．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用

专题：几何动点问题

分析：在等腰三角形PQR中，由PQ=PR=5cm，QR=5

2

cm，根据勾股定理的逆定理可得，等腰三角形PQR是等腰直角三角形，进而得到三角形ECQ是等腰直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可求解．

解答：解：在等腰三角形PQR中，
∵PQ=PR=5cm，QR=5

2

cm，
∴PQ2+PR2=52+52=50=(5

2

)2=QR2，
∴等腰三角形PQR是等腰直角三角形．
（1）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5时，
即S△ECQ=5cm2，
由题意知，△ECQ是等腰直角三角形，
∴EC=QC=t，
∵S△ECQ=

1

2

EC•QC=5，\
即

1

2

t²=5，
解得：t1=

10

，t2=-

10

（舍去），
∴

10

秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5．
（2）当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7时，
同（1）可得

1

2

t²=7，
解得：t1=

14

，t2=-

14

（舍去），
∴

14

秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7．

点评：此题考查了一元二次方程的应用、正方形的性质、等腰三角形的性质、图形面积的求法等知识，由勾股定理的逆定理判断直角三角形是解答此题的关键．