Question

15．如图①所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD₁⊥l于点D₁，过点E作EE₁⊥l于点E₁．
（1）如图②，当点E恰好在直线l上时（此时E₁与E重合），请直接写出DD₁与AB之间的数量关系：DD₁=AB．
（2）在图①中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探索三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图③，当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD₁、EE₁、AB之间的数量关系：AB=DD₁-EE₁．

Answer 1

分析 （1）由四边形CADF、CBEG是正方形，可得AD=CA，∠DAC=∠ABC=90°，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAB，然后利用AAS证得△ADD₁≌△CAB，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD₁=AB；
（2）首先过点C作CH⊥AB于H，由DD₁⊥AB，可得∠DD₁A=∠CHA=90°，由四边形CADF是正方形，可得AD=CA，又由同角的余角相等，求得∠ADD₁=∠CAH，然后利用AAS证得△ADD₁≌△CAH，根据全等三角形的对应边相等，即可得DD₁=AH，同理EE₁=BH，则可得AB=DD₁+EE₁．
（3）证明方法同（2），易得AB=DD₁-EE₁．

解答 （1）证明：∵四边形CADF、CBEG是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD₁+∠CAB=90°，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠ABC=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∴∠ADD₁=∠CAB，
在△ADD₁和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D{D}_{1}A=∠ABC}\\{∠AD{D}_{1}=∠CAB}\\{AD=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADD₁≌△CAB（AAS），
∴DD₁=AB；
故答案为：DD₁=AB；

（2）解：AB=DD₁+EE₁．
证明：如图①，过点C作CH⊥AB于H，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠CHA=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D{D}_{1}A=∠CHA}\\{∠AD{D}_{1}=∠CAH}\\{AD=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴DD₁=AH；
同理：EE₁=BH，
∴AB=AH+BH=DD₁+EE₁；

（3）解：AB=DD₁-EE₁．
证明：如图③，过点C作CH⊥AB于H，
∵DD₁⊥AB，
∴∠DD₁A=∠CHA=90°，
∴∠DAD₁+∠ADD₁=90°，
∵四边形CADF是正方形，
∴AD=CA，∠DAC=90°，
∴∠DAD₁+∠CAH=90°，
∴∠ADD₁=∠CAH，
在△ADD₁和△CAH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D{D}_{1}A=∠CHA}\\{∠AD{D}_{1}=∠CAH}\\{AD=CA}\end{array}\right.$，
∴△ADD₁≌△CAH（AAS），
∴DD₁=AH；
同理：EE₁=BH，
∴AB=AH-BH=DD₁-EE₁，
故答案为：AB=DD₁-EE₁．

点评 本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．