Question

1．已知：如图，在△ABC中，D、E、F是分别是三边BC、AC、AB的中点，连接EF、AD．
（1）求证：AD与EF互相平分；
（2）当△ABC满足什么条件时，AD 与EF相等？为什么？

Answer 1

分析 （1）连接DE、DF，只要证明四边形AEDF是平行四边形即可；
（2）当∠BAC=90°时，AD=EF．理由矩形的性质即可证明；

解答 （1）证明：连接DE、DF．

∵D、E、F是分别是三边BC、AC、AB的中点，
∴DE、DF是△ABC的中位线．
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∴AD与EF互相平分．

（2）当∠BAC=90°时，AD=EF．
理由：∵四边形AEDF是平行四边形，且∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴AE=DF．

点评 本题考查三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．