Question

11．如图，已知反比例函数y=kx^-1（k＞0）的图象与一次函数图象y=-x+4交于a、b两点，点a的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的解析；
（2）y轴上是否存在一点P，使2∠APB=∠AOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A在y=-x+4上，且点A的纵坐标为3，于是得到A（3，1），由于点A在反比例函数y=kx^-1的图象上，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OA=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，根据2∠APB=∠AOB，于是推出点P在以O为圆心，以OA为半径的圆上，得到OP=$\sqrt{10}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵A在y=-x+4上，且点A的纵坐标为3，得点A（3，1），
∵点A在反比例函数y=kx^-1 的图象上，得k=3，
∴反比例函数的解析为：y=$\frac{3}{x}$；
（2）∵A（1，3），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵OA=OB，
∵2∠APB=∠AOB，
∴∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴点P在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OP=$\sqrt{10}$，
∵点P在y轴上，
∴P（0，$\sqrt{10}$）或P（0，-$\sqrt{10}$）．

点评 考查了反比例函数与一次函数的交点问题，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，由两倍角问题，转化为圆周角问题，用转化的思想思考问题．