Question

14．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=$\frac{5}{6}$，OC=$\sqrt{2}$，则另一直角边BC的长为$\frac{7}{6}$．

Answer 1

分析 过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，作ON⊥BC于点N．只要证明△OMA≌△ONB推出OM=ON，MA=NB推出O点在∠ACB的平分线上，推出△OCM为等腰直角三角形．由OC=$\sqrt{2}$，推出CM=ON=1．推出MA=CM-AC=1-$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{6}$，可得BC=CN+NB=1+$\frac{1}{6}$=$\frac{7}{6}$．

解答 解：过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M，作ON⊥BC于点N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∵∠MON=∠AOB=90°，
∴∠AOM=∠BON，
在△AOM和△BON中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OMA=∠ONB}\\{∠AOM=∠BON}\\{OA=OB}\end{array}\right.$
∴△OMA≌△ONB，
∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=$\sqrt{2}$，
∴CM=ON=1．
∴MA=CM-AC=1-$\frac{5}{6}$=$\frac{1}{6}$，
∴BC=CN+NB=1+$\frac{1}{6}$=$\frac{7}{6}$．
故答案为：$\frac{7}{6}$．

点评 此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质、角平分线的判定，利用了转化及等量代换的思想，根据题意作出相应的辅助线是解本题的关键．