Question

7．如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，CD：AD=1：2，$\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$．
（1）试用向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$表示向量$\overrightarrow{BD}$；
（2）求作：$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）

Answer 1

分析 （1）根据$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$，只要求出$\overrightarrow{CD}$即可解决问题；
（2）$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，（如图所示）；

解答 解：（1）∵CD：AD=1：2，
∴CD=$\frac{1}{3}$CA，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$，
∵$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{BA}$-$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{b}$．
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$．

（2）$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，（如图所示）

点评 本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题．