Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转一个角度α（0°＜α≤90°），分别交线段BC，AD于点E，F，连接BF．
（1）如图1，在旋转的过程中，写出线段AF于EC的数量关系，并证明；
（2）如图2，当旋转至90°时，判断四边形ABEF的形状，并证明；
（3）若AB=1，BC=$\sqrt{5}$，当α=45°时，线段BF与DF相等．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得AD∥CB，OA=OC，则∠FAO=∠ECO，于是可判断△AOF≌△COE，则AF=CE；
（2）由于∠AOF=90°，∠BAC=90°，可判断AB∥EF，易得四边形ABEF为平行四边形；
（3）先根据勾股定理计算出AC=2，由平行四边形的性质得OA=1，则可判断△ABO为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，由于当∠FBD=∠FDB时，BF=DF，加上∠FDB=∠CBD，所以∠FBD=∠CBD，即BO平分∠EBF，根据等腰三角形的性质得OB⊥EF，于是可计算出∠AOF=45°，再利用旋转的性质即可得到α的度数．

解答 解：（1）AF=CE．理由如下：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥CB，OA=OC，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE；
（2）当旋转至90°时，四边形ABEF为平行四边形．理由如下：
∵∠AOF=90°，∠BAC=90°，
∴AB∥EF，
而AF∥BE，
∴四边形ABEF为平行四边形；
（3）在Rt△ABC中，∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}-{1}^{2}}$=2，
∴OA=1，
∴△ABO为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
当∠FBD=∠FDB时，BF=DF，
而∠FDB=∠CBD，
∴∠FBD=∠CBD，
即BO平分∠EBF，
∵OE=OF，
∴OB⊥EF，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=90°-45°=45°，
即α=45°．
故答案为45．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定与性质．