Question

如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．
（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？．
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，cos∠BFA=

2

3

，那么，你能求出△ACF的面积吗？若能，请你求出其面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OB，根据圆周角定理由AC是⊙O的直径得∠ABC=90°，则∠BAC+∠C=90°，而∠BAC=∠ABO，所以∠ABO+∠C=90°，加上∠DBA=∠C，
所以∠ABO+∠DBA=90°，于是得到DB是⊙O的切线；
（2）在△ABF中，利用余弦的定义得cos∠BFA=

BF

AF

=

2

3

，再证明△EBF∽△CAF，根据相似的性质得

S△BEF

S△ACF

=（

BF

AF

）²=

4

9

，然后把△BEF的面积=10代入计算即可．

解答：解：（1）BD是⊙O的切线．理由如下：
连接OB，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠BAC+∠C=90°，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO，
∴∠ABO+∠C=90°，
∵∠DBA=∠C，
∴∠ABO+∠DBA=90°，
∴OB⊥BD，
∴DB是⊙O的切线；
（2）能．
在△ABF中，∠ABF=90°，
∴cos∠BFA=

BF

AF

=

2

3

，
∵∠E=∠C，∠EBC=∠CAE，
∴△EBF∽△CAF，
∴

S△BEF

S△ACF

=（

BF

AF

）²=

4

9

，
∴S_△ACF=

9

4

×10=

45

2

．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质．