Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥DB交AB于点E，△BDE的外接圆⊙O交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5cm，BC=8cm，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由OB=OD和角平分线性质得出∠ODB=∠DBC．推出OD∥BC，得出∠ADO=∠C=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）由OD∥BC得△AOD∽△ABC，得出$\frac{OD}{BC}$=$\frac{OA}{AB}$，求得OA，进一步求得AB，然后利用勾股定理即可求出AC的长．

解答 （1）证明：连接OD，
∵DE⊥DB，⊙O是△BDE的外接圆，
∴BE是⊙O的直径．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD=∠DBC．
∴∠ODB=∠DBC．
∴OD∥BC，
∴∠ADO=∠C=90°，即OD⊥AC． 
又∵点D在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线．
（2）解：∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{OA}{AB}$，
∵⊙O的半径为5cm，BC=8cm，
∴$\frac{5}{8}$=$\frac{OA}{OA+5}$，
解得：OA=$\frac{25}{3}$cm．
∴AB=5+$\frac{25}{3}$=$\frac{40}{3}$ cm．
在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{32}{3}$．

点评 此题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．