题目内容
19．
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为C、D，连接CD、QC．（1）当t=$\frac{5}{2}$时，AD=4，QD=$\frac{3}{2}$；
（2）当t为何值时，线段PQ最短？
（3）设△QCD的面积为S，求S的最大值．
分析 （1）如图1中，作PE⊥OA于E．由PE∥OB，推出$\frac{PA}{AB}$=$\frac{PE}{OB}$=$\frac{AE}{OA}$，得$\frac{t}{10}$=$\frac{PE}{6}$=$\frac{AE}{8}$，推出PE=$\frac{3}{5}$t，AE=$\frac{4}{5}$t，由PE⊥AD，推出DE=AE=$\frac{4}{5}$t，推出AD=$\frac{8}{5}$t，OQ=t，由此把t=$\frac{5}{2}$代入即可解决问题．
（2）求出P、Q两点的坐标，根据两点间距离公式，构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题．
（3）分两种情形分类讨论①当0＜t≤$\frac{40}{13}$时．②当 $\frac{40}{13}$＜t≤5时．分别求解即可．
解答 解：（1）如图1中，作PE⊥OA于E．
∵A（8，0）、B（0，6），
∴OB=6，OA=8，AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PE∥OB，
∴$\frac{PA}{AB}$=$\frac{PE}{OB}$=$\frac{AE}{OA}$，
∴$\frac{t}{10}$=$\frac{PE}{6}$=$\frac{AE}{8}$，
∴PE=$\frac{3}{5}$t，AE=$\frac{4}{5}$t，
∵PE⊥AD，
∴DE=AE=$\frac{4}{5}$t，
∴AD=$\frac{8}{5}$t，
∵t=$\frac{5}{2}$，
∴AD=4，OQ=$\frac{5}{2}$，
∴QD=8-$\frac{5}{2}$-4=$\frac{3}{2}$，
故答案为4，$\frac{3}{2}$．
（2）由（1）可知Q（t，0），P（8-$\frac{4}{5}$t，$\frac{3}{5}$t），
∴PQ=$\sqrt{（t-8+\frac{4}{5}t）^{2}+（\frac{3}{5}t）^{2}}$=$\sqrt{\frac{90}{25}{t}^{2}-\frac{144}{5}t+64}$=$\sqrt{\frac{18}{5}（t-4）^{2}+\frac{32}{5}}$，
∵$\frac{18}{5}$＞0，
∴t=4时，PQ的值最小，最小值为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
（3）在Rt△ACD中，CD=AC•sin∠BAO=2t×$\frac{3}{5}$=$\frac{6}{5}$t．
①当0＜t≤$\frac{40}{13}$时，
DQ=OA-OQ-AD=8-t-$\frac{8}{5}$t=8-$\frac{13}{5}$t．
∴S=$\frac{1}{2}$DQ•CD=$\frac{1}{2}$（8-$\frac{13}{5}$t）•$\frac{6}{5}$t=-$\frac{39}{25}$t2+$\frac{24}{5}$t．
∵-$\frac{b}{2a}$=$\frac{20}{13}$，0＜$\frac{20}{13}$＜$\frac{40}{13}$，
∴当t=$\frac{20}{13}$时，S有最大值为 $\frac{48}{13}$；
②当 $\frac{40}{13}$＜t≤5时，
DQ=OQ+AD-OA=t+$\frac{8}{5}$t-8=$\frac{13}{5}$t-8．
∴S=$\frac{1}{2}$DQ•CD=$\frac{1}{2}$（ $\frac{13}{5}$t-8）•$\frac{6}{5}$t=$\frac{39}{25}$t2-$\frac{24}{5}$t．
∵-$\frac{b}{2a}$=$\frac{20}{13}$，$\frac{20}{13}$＜$\frac{40}{13}$，所以S随t的增大而增大，
∴当t=5时，S有最大值为15＞$\frac{48}{13}$，
综上所述，S的最大值为15．
点评 本题考查了圆的综合题，主要利用了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，二次函数的最值问题等知识，综合性较强，但难度不大，关键在于要考虑点Q、D两点重合前后两种情况，这也是本题容易出错的地方．
阅读快车系列答案| A． | 0既不是正数也不是负数 | B． | 绝对值最小的数是0 | ||
| C． | 一个有理数不是整数就是分数 | D． | 数a的倒数是$\frac{1}{a}$ |
如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（6，4），点P是直线y=x上一点，若∠1=∠2，则点P的坐标是（3，3）．