Question

8．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（6，4），点P是直线y=x上一点，若∠1=∠2，则点P的坐标是（3，3）．

Answer 1

分析 过B作BN⊥x轴于N，过P作PM⊥x轴于M，PC⊥BN于C，设P的坐标为（a，a），求出△MPA∽△CPB，得出比例式，即可求出a．

解答 解：
过B作BN⊥x轴于N，过P作PM⊥x轴于M，PC⊥BN于C，
则∠PCB=∠PMA=90°，∠PCN=∠CNM=∠PMN=90°，
所以四边形MNCP是矩形，
∵四边形MNCP是矩形，
∴PC=MN，PM=CN，∠CPM=90°，PC∥MN，
∵∠1=∠2，P在直线y=x上，
∴∠2+∠BPC=∠POA=45°=∠1+∠APM，
∴∠BPC=∠MPA，
设P的坐标为（a，a），
∵点A（2，0），点B（6，4），
∴PM=a，AM=a-2，PC=6-a，BC=4-a，
∵∠BPC=∠MPA，∠PCB=∠PMA=90°，
∴△MPA∽△CPB，
∴$\frac{PM}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$，
∴$\frac{a}{6-a}$=$\frac{a-2}{4-a}$，
解得：a=3，
即P的坐标为（3，3），
故答案为：（3，3）．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定等知识点，能求出△MPA∽△CPB是解此题的关键．