Question

20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：
①若AD=5，BD=2，则DE=$\frac{2}{5}$；
②∠ACB=∠DCF；
③△FDA∽△FCB；
④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC=FC=4，DF=3，则cosF=$\frac{41}{48}$；
则正确的结论是（　　）

• A． ①③
• B． ②③④
• C． ③④
• D． ①②④

Answer 1

分析 ①只需证明△BDE∽△ADB，运用对应线段成比例求解即可；
②连接CD，假设∠ACB=∠DCF，推出与题意不符即可判断；
③由公共角和同弧所对的圆周角相等即可判断；
④先证明△FCD∽△FBA，求出BD的长度，根据垂径定理求出DH，结合三角函数即可求解．

解答 解：①如图1，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠CBD，
∵∠BDE=∠BDE，
∴△BDE∽△ADB，
∴$\frac{BD}{AD}=\frac{DE}{BD}$，
由AD=5，BD=2，可求DE=$\frac{4}{5}$，
①不正确；
②如图2，

连接CD，
∠FCD+∠ACD=180°，∠ACD+∠ABD=180°，
∴∠FCD=∠ABD，
若∠ACB=∠DCF，因为∠ACB=∠ADB，
则有：∠ABD=∠ADB，与已知不符，
故②不正确；
③如图3，

∵∠F=∠F，∠FAD=∠FBC，
∴△FDA∽△FCB；
故③正确；
④如图4，

连接CD，由②知：∠FCD=∠ABD，
又∵∠F=∠F，
∴△FCD∽△FBA，
∴$\frac{FC}{FB}=\frac{FD}{FA}$，
由AC=FC=4，DF=3，可求：AF=8，FB=$\frac{32}{3}$，
∴BD=BF-DF=$\frac{23}{3}$，
∵直径AG⊥BD，
∴DH=$\frac{23}{6}$，
∴FH=$\frac{41}{6}$，
∴cosF=$\frac{FH}{AF}$=$\frac{41}{48}$，
故④正确；
故选：C．

点评 此题主要考查圆的综合问题，熟悉圆的相关性质，会证明三角形相似并解决相关问题，能灵活运用垂径定理和三角函数是解题的关键．