Question

16．如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$
（1）若CD∥AB，证明：直线AC平分∠DAB；
（2）作DE⊥AB交AC于E，证明：CD²=AE•AC．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠ACD=∠BAC，由$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，得到∠ACD=∠DAC，等量代换即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠ADE+∠DAB=90°，根据圆周角定理得到∠DBA+∠DAB=90°，等量代换得到∠ADE=∠ACD，推出△ADE∽△ACD，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：（1）∵CD∥AB，
∴∠ACD=∠BAC，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠ACD=∠DAC，
∴∠DAC=∠ACD，
∴直线AC平分∠DAB；

（2）∵DE⊥AB，
∴∠ADE+∠DAB=90°，
∵AB是直径，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∴∠ADE=∠a=ABD，
∵∠ABD=∠DCA，
∴∠ADE=∠ACD，
∴△ADE∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∴AD²=AE•AC，
∵AD=CD，
∴CD²=AE•AC．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．