Question

6．在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别$\sqrt{2}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{17}$，求这个三角形的面积．

小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上．2.5
思维拓展
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为2$\sqrt{2}$a，$\sqrt{10}$a，$\sqrt{26}$a（a＞0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
（3）若△ABC三边的长分别为$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$，$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$，2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$（m＞0，n＞0，m≠n），请运用构图法在图3指定区域内画出示意图，并求出△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）用长为4，宽为2的矩形减去3个三角形的面积，即可求得答案；
（2）2$\sqrt{2}$a是以2a，2a为直角边的直角三角形的斜边长；$\sqrt{10}$a是以a，3a为直角边的直角三角形的斜边长；$\sqrt{26}$a是以a，5a为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得面积；
（3）$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$是以m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$是以m，4n为直角边的直角三角形的斜边长；2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$是以2m，2n为直角边的直角三角形的斜边长；继而可作出三角形，然后求得三角形的面积．

解答 解：（1）S_△ABC=2×4-$\frac{1}{2}$×1×1-$\frac{1}{2}$×3×2-$\frac{1}{2}$×1×4=2.5；
故答案为：2.5；

（2）如图2，AB=2$\sqrt{2}$a，BC=$\sqrt{10}$a，AC=$\sqrt{26}$a，
∴S_△ABC=2a×5a-$\frac{1}{2}$×2a×2a-$\frac{1}{2}$×3a×a-$\frac{1}{2}$×a×5a=4a²；

（3）如图3，AB=$\sqrt{{m}^{2}+4{n}^{2}}$，AC=$\sqrt{{m}^{2}+16{n}^{2}}$，BC=2$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$；
∴S_△ABC=2m×4n-$\frac{1}{2}$×2m×2n-$\frac{1}{2}$×m×4n-$\frac{1}{2}$×m×2n=3mn．

点评 此题考查了勾股定理的应用以及三角形面积问题．注意掌握利用勾股定理的知识画无理数是解此题的关键．