题目内容

10.(1)先化简,再求值:($\frac{a}{a+2}$+$\frac{1}{{a}^{2}-4}$)÷$\frac{a-1}{a+2}$+$\frac{1}{a-2}$,其中a=2+$\sqrt{2}$;
(2)化简:$\frac{a}{{a}^{2}-4}$•$\frac{a+2}{{a}^{2}-3a}$-$\frac{1}{2-a}$,并求值,其中a与2,3构成△ABC的三边,且a为整数;
(3)先化简,再求值:($\frac{x}{x-2}$-$\frac{4}{{x}^{2}-2x}$)÷$\frac{x+2}{{x}^{2}-x}$,其中x满足x2-x-2=0.

分析 (1)先把括号内通分和除法运算化为乘法运算得到原式=[$\frac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}$+$\frac{1}{(a+2)(a-2)}$]•$\frac{a+2}{a-1}$+$\frac{1}{a-2}$,再计算括号内的加法运算后约分,接着进行同分母的加法运算,然后把a的值代入计算即可;
(2)先把分母因式分解后约分,再进行通分和同分母的加法运算得到原式=$\frac{1}{a-3}$,接着根据三角形三边的关系得到1<a<5,然后根据分式有意义的条件得到a的值为4,最后把a=4代入计算即可;
(3)先把括号内通分和除法运算化为乘法运算得到原式=[$\frac{{x}^{2}}{x(x-2)}$-$\frac{4}{x(x-2)}$]•$\frac{x(x-1)}{x+2}$,再计算括号内的简法运算后约分得到原式=x-1,然后解方程x2-x-2=0和根据分式有意义的条件得到x=-1,再把x=-1代入计算即可.

解答 解:(1)原式=[$\frac{a(a-2)}{(a+2)(a-2)}$+$\frac{1}{(a+2)(a-2)}$]•$\frac{a+2}{a-1}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{(a-1)^{2}}{(a+2)(a-2)}$•$\frac{a+2}{a-1}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{a-1}{a-2}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{a}{a-2}$,
当a=2+$\sqrt{2}$时,原式=$\frac{2+\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}$+1;
(2)原式=$\frac{a}{(a+2)(a-2)}$•$\frac{a+2}{a(a-3)}$+$\frac{1}{a-2}$
=$\frac{1}{(a-2)(a-3)}$+$\frac{a-3}{(a-2)(a-3)}$
=$\frac{a-2}{(a-2)(a-3)}$
=$\frac{1}{a-3}$,
∵a与2,3构成△ABC的三边,
∴1<a<5,
而a为整数,
∴a=2,3,4,
∵a-2≠0且a-3≠0,
∴a的值为4,
当a=4时,原式=$\frac{1}{4-3}$=1;
(3)原式=[$\frac{{x}^{2}}{x(x-2)}$-$\frac{4}{x(x-2)}$]•$\frac{x(x-1)}{x+2}$
=$\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}$•$\frac{x(x-1)}{x+2}$
=x-1,
解方程x2-x-2=0得x1=2,x2=-1,
而x-2≠0,
∴x=-1,此时原式=-1-1=-2.

点评 本题考查了分式的化简求值:先把分式化简后,再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要化成最简分式或整式.注意分式有意义的条件.

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