如图.在平面直角坐标系系xOy中.若抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A.B两点.与y轴交于C点.则称△ABC为抛物线的“交轴三角形．(1)求抛物线y=x2-1的“交轴三角形的面积,(2)写出抛物线y=ax2+bx+c存在“交轴三角形的条件,(3)已知:抛物线y=ax2+bx+4过点M(3.0)．①若此抛物线的“交轴三角形是以y轴为对称轴的等腰三角形.求抛物线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．

如图，在平面直角坐标系系xOy中，若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，则称△ABC为抛物线的“交轴三角形”．
（1）求抛物线y=x²-1的“交轴三角形”的面积；
（2）写出抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）存在“交轴三角形”的条件；
（3）已知：抛物线y=ax²+bx+4过点M（3，0）．
①若此抛物线的“交轴三角形”是以y轴为对称轴的等腰三角形，求抛物线的表达式；
②若此抛物线的“交轴三角形”是不以y轴对称轴的等腰三角形，求“交轴三角形”的面积．

分析（1）只要求出“交轴三角形”△ABC的顶点坐标即可解决问题．
（2）只要抛物线与x轴有两个交点，且不经过原点即可．
（3）①求出A、B坐标利用待定系数法即可解决问题．
②分两种情形讨论a、当BC=BA时，A（-2，0）或（8，0）．b、当A″C=A″B时，点A″在线段AB的垂直平分线上，分别求解即可．

解答解：（1）∵抛物线y=x²-1与x轴交于A（-1，0），B（1，0），与y轴交于（0，1），
∴“交轴三角形”△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×2×1=1．

（2）抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）存在“交轴三角形”的条件：b²-4ac＞0且c≠0．

（3）①如图1中，

∵抛物线的“交轴三角形”是以y轴为对称轴的等腰三角形，
∴抛物线的对称轴x=0，b=0，A（-3，0），B（3，0），
∴0=9a+4，
∴a=-$\frac{4}{9}$
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{9}$x²+4．

②如图2中，

∵B（3，0），C（0，4），
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
a、当BC=BA时，A（-2，0）或（8，0），此时S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5×4=10．
b、当A″C=A″B时，点A″在线段AB的垂直平分线上，
∵直线ABD 解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴线段AB的中垂线的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{7}{8}$．
∴A″（-$\frac{7}{6}$，0），
∴S_△A″BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{6}$×4=$\frac{25}{3}$，
综上所述，此抛物线的“交轴三角形”是不以y轴对称轴的等腰三角形，“交轴三角形”的面积为10或$\frac{25}{3}$．

点评本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、勾股定理、待定系数法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，考虑问题要全面，不能漏解，属于中考压轴题．

练习册系列答案

16．老师布置了一个探究活动：仅用一架天平和若干个10克的砝码测量1元硬币和5角硬币的质量．（注：同种面值的每枚硬币质量相同）．小海同学找来了足够多的1元硬币和5角硬币，经过实验探究，得到了如下的两个探究记录：

记录	天平左边	天平右边	天平状态
记录一	2枚1元硬币和7枚5角硬币	4个10克砝码	平衡
记录二	15枚1元硬币	20枚5角硬币和1个10克砝码	平衡

请你用所学的数学知识计算出一枚1元硬币多少克，一枚5角硬币多少克？

13．

如图，B为AC的中点，E为BD的中点，则AF：AE为（　　）

20．符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H（1）=-2，H（2）=3，H（3）=-4，H（4）=5…
则H（7）+H（8）+H（9）+…+H（99）的结果为-54．

10．从六边形的一个顶点，可以引（　　）条对角线．

17．根据要求解方程
（1）x²+3x-4=0（公式法）
（2）x²+4x-12=0 （配方法）
（3）（x+4）²=5（x+4）

14．下列调查中，适合用普查方式的是（　　）

	A．	了解重庆火锅的麻辣程度
	B．	了解湖南电视台《我是歌手》在全国的收视率
	C．	了解长江中鱼的种类分布
	D．	了解初三•7班学生某次语文测验的成绩

15．

如图，BD=CD，AE=DE，△ABC的面积是4，则△ABE的面积是（　　）

试题分类