Question

已知点E为平行四边形边BC上的一点，AE与BD交与点F，S_△BEF=1．
（1）当BE=

1

2

BC时，S_△AFD=

 

；
（2）当BE=

1

3

BC时，求S_{平行四边形ABCD}的值；
（3）当BE=

1

n

BC时，求S_{四边形CDFE}的值（结果用含n的式子表示）．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）首先证明△ADF∽△EBF可得（

BE

AD

）²=

S△ADF

S△BEF

=

1

4

，然后再代入S_△BEF=1可得答案；
（2）与（1）同理可得S_△AFD=9，再根据BE=

1

3

BC，可得EF=

1

3

AF，进行而得到S_△ABF=3S_△BEF=3，然后算出S_△ABD=9+3=12，根据平行四边形的性质可得S_{平行四边形ABCD}=2S_△ABD；
（3）与（2）同理可S_△BCD=n²+n，然后再减去S_△BEF=1即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴（

BE

AD

）²=

S△ADF

S△BEF

，
∵BE=

1

2

BC，
∴

BE

AD

=

1

2

，
∴

S△ADF

S△BEF

=

1

4

，
∵S_△BEF=1，
∴S_△AFD=4，
故答案为：4；

（2）与（1）同理可得S_△AFD=9，
∵BE=

1

3

BC，
∴EF=

1

3

AF，
∴S_△ABF=3S_△BEF=3，
∴S_△ABD=9+3=12，
∴S_{平行四边形ABCD}=2×12=24；

（3）与（2）同理可得S_△AFD=n²，
∵BE=

1

n

BC，
∴EF=

1

n

AF，
∴S_△ABF=nS_△BEF=n，
∴S_△ABD=n²+n，
∴S_△BCD=n²+n，
∴S_{四边形CDFE}=n²+n-1．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形的对角线把面积平分成相等的两部分．