Question

6．（1）观察与发现：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$，
以上各等式说明了什么运算规律？把这种规律用含有n（n是正整数）的等式表示出来：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）运用你发现的规律进行计算：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2015×2016}$；
（3）拓展延伸：
计算：$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{99×101}$．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（3）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）根据题意得：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；
（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$=1-$\frac{1}{2016}$=$\frac{2015}{2016}$；
（3）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{50}{101}$．
故答案为：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．