Question

11．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，若PA⊥AB，PO过AC的中点M，求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 连接OC，如图，先利用垂径定理的推理得到OM⊥AC，则可判断PO垂直平分AC，所以PA=PC，根据等腰三角形的性质得∠PAC=∠PCA，加上∠OAC=∠OCA，易得∠PCO=∠PA0=90°，然后根据切线的判定定理可得结论．

解答 证明：连接OC，如图，
∵PA⊥AB，
∴∠PA0=90⁰，
∵PO过AC的中点M，
∴OM⊥AC，
∴PO垂直平分AC，
∴PA=PC，
∴∠PAC=∠PCA，
而OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠PAC+∠CAO=∠PA0=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．