Question

1．（1）写一个多项式，再把它分解因式（要求：多项式含有字母m和n，系数、次数不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解）．
（2）拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解，因而有时需要多次实验才能成功，例如把 x³-3x²+4 分解因式，这是一个三项式，最高次项是三次项，一次项系数是0，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑制造分组分解的条件，把常数项拆成1和3，原式就变成 
（x³+1）-（3x²-3），再利用立方和与平方差先分解，解法如下“
原式=x³+1-（3x²-3）=（x+1）（x²-x+1）-3（x+1）（x-1）=（x+1）（x²-x+1-3x+3）=（x+1）（x-2）²
公式：a³+b³=（a+b）（a²-ab+b²）   a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²）
根据上述论法和解法，
（1）分解因式 x³+x²-2
（2）分解因式 x³-7x+6
（3）分解因式 x⁴+x²+1．

Answer 1

分析 （1）将原式拆成（x³-1）+（x²-1）然后分别利用立方差和平方差公式因式分解后再提起公因式x-1即可；
（2）将原式拆成x³-1-7x+7，然后前两项利用立方差公式因式分解，后两项提取公因式即可确定答案；
（3）将原式拆成x⁴+2x²+1-x²，然后利用平方差公式因式分解即可．

解答 解：（1）x³+x²-2
=（x³-1）+（x²-1）
=（x-1）（x²+x+1）+（x-1）（x+1）
=（x-1）（x²+2x+2）；

（2）原式=x³-1-7x+7=（x-1）（x²+x+1）-7（x-1）=（x-1）（x²+x-6）=（x-1）（x-2）（x+3）；

（3）x⁴+x²+1=x⁴+2x²+1-x²=（x²+1）²-x²=（x²+1+x）（x²+1-x）．

点评 本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细阅读题目，从题目中得到因式分解的方法，难度不大．