Question

10．（1）请用多种方法计算：$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$．
（2）由上式计算可联想到如图，你还能联想出其他的分隔图形吗？完成提示作图，并展开联想自由作图．
（3）通过对图的分割理解，请计算：$\underset{\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}…}}{无穷多个}$=1．

Answer 1

分析 （1）①根据等比数列的求和公式计算．
②首先把每个加数分成两个分数的差的形式，然后应用加法结合律，求出算式的值是多少即可．
（2）根据算式$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$中每个加数都是和它相邻的后面的加数的2倍，画出其它的分隔图形即可．
（3）通过对图的分割理解可知：$\underset{\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}…}}{无穷多个}$=1，据此解答即可．

解答 解：（1）①$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$
=$\frac{\frac{1}{2}×[1{-（\frac{1}{2}）}^{7}]}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{127}{128}}{\frac{1}{2}}$
=$\frac{127}{128}$

②$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{128}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{16}$-$\frac{1}{32}$+$\frac{1}{32}$-$\frac{1}{64}$+$\frac{1}{64}$-$\frac{1}{128}$
=1-$\frac{1}{128}$
=$\frac{127}{128}$

（2）如图1，
．

（3）$\underset{\underbrace{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\frac{1}{64}+\frac{1}{128}…}}{无穷多个}$=1．
故答案为：1．

点评 （1）此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
（2）此题还考查了数字的变化类问题，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，注意观察总结规律，并能正确的应用规律．