Question

1．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
（1）尺规作图：作⊙C，使它与AB相切于点D，与AC相交于点E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母．
（2）在你按（1）中要求所作的图中，若BC=3，∠A=30°，求$\widehat{DE}$的长．

Answer 1

分析 （1）过点C作AB的垂线，垂足为点D，然后以C点为圆心，CD为半径作圆即可；
（2）先根据切线的性质得∠ADC=90°，则利用互余可计算出∠DCE=90°-∠A=60°，∠BCD=90°-∠ACD=30°，再在Rt△BCD中利用∠BCD的余弦可计算出CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，然后根据弧长公式求解．

解答 解：（1）如图，

⊙C为所求；
（2）∵⊙C切AB于D，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCE=90°-∠A=90°-30°=60°，
∴∠BCD=90°-∠ACD=30°，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=$\frac{CD}{BC}$，
∴CD=3cos30°=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\widehat{DE}$的长=$\frac{60•π•\frac{3\sqrt{3}}{2}}{180}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了切线的性质和弧长公式．